相似矩阵

相似矩阵描述了矩阵间某种等价关系。两个矩阵如果表示相同的线性变换但在不同的基下，则称它们是相似的。

定义如果存在一个可逆矩阵PPP，使得矩阵AAA和BBB满足

B=P−1APB = P^{-1}AP B=P−1AP

则称矩阵AAA和BBB是相似的（AAA is similar to BBB），记作A∼BA \sim BA∼B。

性质相似关系的对称性和传递性：如果A∼BA \sim BA∼B，则B∼AB \sim AB∼A；如果A∼BA \sim BA∼B且B∼CB \sim CB∼C，则A∼CA \sim CA∼C。特征值相同：相似矩阵具有相同的特征值。行列式和迹相等：如果A∼BA \sim BA∼B，则det⁡(A)=det⁡(B)\det(A) = \det(B)det(A)=det(B)且tr(A)=tr(B)\text{tr}(A) = \text{tr}(B)tr(A)=tr(B)。幂相同：相似矩阵的幂次相同，即如果A∼BA \sim BA∼B，则对于任意整数nnn，有An∼BnA^n \sim B^nAn∼Bn。相似矩阵的作用对角化：矩阵AAA可以通过相似变换化为对角矩阵DDD，即存在可逆矩阵PPP，使得P−1AP=DP^{-1}AP = DP−1AP=D，其中DDD是对角矩阵。对角化有助于简化矩阵的计算。简化问题：通过相似变换，可以将复杂矩阵变为简单形式，从而简化计算问题，例如求矩阵的幂、指数等。线性变换的研究：相似矩阵的概念帮助我们理解不同基下的线性变换表示，以及它们之间的关系。示例Example考虑两个矩阵

A=[4123],B=[3214]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} A=[42​13​],B=[31​24​]

我们可以找到一个可逆矩阵PPP，使得B=P−1APB = P^{-1}APB=P−1AP。例如，设

P=[111−1],P−1=12[111−1]P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} P=[11​1−1​],P−1=21​[11​1−1​]

验证：

P−1AP=12[111−1][4123][111−1]=[3214]=BP^{-1}AP = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = B P−1AP=21​[11​1−1​][42​13​][11​1−1​]=[31​24​]=B

因此，矩阵AAA和BBB是相似的。